Luboš Vrbka Homepage : Záhadné(?) vlastnosti Diracovy delta funkce

Při čtení této knihy (Principles of Quantum Mechanics: As Applied to Chemistry and Chemical Physics od D. D. Fittse; mimochodem, je velmi dobře a srozumitelně napsaná i pro matematicko-fyzikální lamu jako jsem já) jsem narazil na pár problémů týkajících se Diracovy delta-funkce. Jelikož nejsem matematik ani fyzik, tak mi některé definice připadnou buď naprosto triviální (a není mi pak jasné, jestli to nemá ještě nějaký háček), nebo na druhou stranu nevím co s nimi… (UPDATED)

Diracova delta funkce $\delta$$ je definována jako

$\delta(x) = 0 \Leftrightarrow x \neq 0; \delta(x) = \infty \Leftrightarrow x = 0; \displaystyle \int{\delta(x)\,dx} = 1$

První otázka přichází nyní - jak z této definice odvodit, že

$\displaystyle \int{f(x)\,\delta(x)\,dx} = f(0)$

případně, že

$\displaystyle \int{f(x)\,\delta(x - x_0)\,dx} = f(x_0)$

Takže mi to bylo vysvětleno takhle. Např. $\displaystyle \left\int 5\delta(x) dx = 5$ . Číslo 5 lze brát jako konstantní funkci . Pokud budeme mít funkci s hodnotou 5 všude kromě nuly, kde bude mít hodnotu 3, pak $\displaystyle \left\int f(x)\delta(x) dx = 3$ .

Je to tak, že postupně sčítám (po infinitezimálních krocích) součin $f(x)\,\cdot\,\delta(x)$ ? To by ale potom v bodě 0 (resp. x_0 bylo násobení nekonečnem…

V integrálu se prakticky vyskytuje jen infinitezimálně malé okolí kolem bodu 0. Součin téměř nuly (dx) a nekonečna potom může dát cokoliv. V tomto případě (podle definice) hodnotu 1.

A teď k těm vlastnostem… (delta funkce má vlastně smysl jen v případě, že je použita uvnitř integrálu coby “operátor”)

$\delta(x) = \delta(-x)$

Znaménko by nemělo hrát roli, nula je pořád nula, ale co ty ostatní vztahy?

Delta funkce je ’symetrická’, takže vztah platí.

$\displaystyle \delta(cx) = \frac{1}{|c|}\delta(x), c \in \mathcal{R}$

Stačí zavést substituci , pak $\displaystyle dx = \frac{du}{c}$ . Pro integrál pak platí
$\displaystyle \int\delta(cx)dx = \int\frac{\delta(u)}{c}du = \frac{1}{c} = \int\frac{1}{c}\delta(x) dx$
Jelikož je delta funkce symetrická platí totéž i pro opačnou hodnotu koeficientu c. Konstanta c zde vlastně slouží jako normalizační konstanta.

$x\delta(x - x_0) = x_0\delta(x - x_0)$

Hodnota delta funkce $\delta(x - x_0)$ je nenulová pouze v případě, že . Obě strany rovnice se tedy rovnají.

$x\delta(x) = 0$

Buď je delta funkce nulová (pro nenulové x), nebo je (pro nulové x) násobená nulou.

$f(x) \delta(x - x_0) = f(x_0) \delta(x - x_0)$

Vztah je ekvivalentní jedné z rovnic výše. Nenulová delta funkce nastává pouze pro .

Za předpokladu, že existuje derivace delta funkce $\delta^\prime(x)$ , pak ze vztahu $x\delta(x) = 0$ vyplývá
$x^\prime\delta(x) + x\delta^\prime(x) = 0$
$x\delta^\prime(x) = -\delta(x)$
Jak ale z rovnice $\delta(x) = \delta(-x)$ plyne následující rovnost?
$\delta^\prime(-x) = \delta^\prime(x)$

Když se na to podívám selským rozumem, tak to dává smysl - pro všechny body kromě 0 je derivace nulová. Nula s jakýmkoliv znaménkem je pak zase nula, takže by se sobě výše uvedené derivace měly rovnat… Existuje ještě nějaký vědečtější (matematický) postup, nebo se budu muset spolehnout na ten selský rozum?

Zde by mohl teoreticky nastat problém s nerovností derivace zprava a zleva. Každopádně, snad lze použít následující postup:

$x^\prime\delta(x) + x\delta^\prime(x) = 0$
$\delta(x) = -x\delta^\prime(x)$

Totéž pro
$-x^\prime\delta(-x) + x\delta^\prime(-x) = 0$
$\delta(-x) = -x\delta^\prime(-x)$

A protože $\delta(-x) = \delta(x)$ , lze psát
$-x\delta^\prime(x) = -x\delta^\prime(x)$
$\delta^\prime(-x) = \delta^\prime(x)$

Díky, fčelo :-P

Abstract in English: Properties of Dirac delta-function are discussed and derived (where appropriate). This text is largely based on Principles of Quantum Mechanics: As Applied to Chemistry and Chemical Physics by D. D. Fitts.

Luboš Vrbka Homepage

Záhadné(?) vlastnosti Diracovy delta funkce

Blog Search

Pages

Links

Categories

Information

Meta

Archives