Skip to content
{ 2007 09 20 }

Ještě něco málo matematiky

Odvození vlastních funkcí hamiltoniámu pro harmonický potenciál metodou kreačních a anihilačních (zvyšujících a snižujících, žebříkových) operátorů (ladder - raising and lowering - operators; Fitts, str. 116, 117, rovnice 4.37 až 4.39)

\displaystyle |n> = \left(2^n n!\right)^{-1/2} \pi^{-1/4}\left(\xi - \frac{d}{d\xi}\right)^n e^{-\xi^2/2}

Rovnici lze zjednodušit (konstanty necháme stranou)

\displaystyle \left(\xi- \frac{d}{d\xi}\right) e^{-\xi^2/2} = \left(\xi - \frac{d}{d\xi}\right) e^{\xi^2/2}e^{-\xi^2} = %<br /> \xi e^{-\xi^2/2} - \xi e^{\xi^2/2}e^{-\xi^2} - e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2} =
\displaystyle = - e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2}

Jak z toho ale vyplývá následující?
\displaystyle \left(\xi- \frac{d}{d\xi}\right)^n e^{-\xi^2/2} = (-1)^n e^{\xi^2/2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2}

Pro druhou mocninu operátoru platí
\displaystyle \left(\xi- \frac{d}{d\xi}\right)\left(\xi- \frac{d}{d\xi}\right) = %<br /> \xi^2 -\frac{d}{d\xi}\xi - \xi\frac{d}{d\xi} + \frac{d^2}{d\xi^2} = %<br /> \mathcal{A} - \mathcal{B} - \mathcal{C} + \mathcal{D}

Potom

\mathcal{A}e^{-\xi^2/2} = \xi^2 e^{-\xi^2/2}

\mathcal{B}e^{-\xi^2/2} = e^{-\xi^2/2} - \xi^2 e^{-\xi^2/2}

\displaystyle \mathcal{C}e^{-\xi^2/2} = \mathcal{C}e^{\xi^2/2}e^{-\xi^2} = %<br /> \xi \left( \xi e^{\xi^2/2}e^{-\xi^2} + e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2} \right) = %<br /> \xi^2 e^{-\xi^2/2} + \xi e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2}

\displaystyle \mathcal{D}e^{-\xi^2/2} = \frac{d^2}{dx^2}e^{\xi^2/2}e^{-\xi^2} = %<br /> \frac{d}{d\xi} (\xi e^{-\xi^2/2} + e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2}) =
\displaystyle = e^{-\xi^2/2} + \xi^2 e^{-\xi^2/2}+ \xi e^{\xi^2/2}\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^2} + e^{\xi^2/2}\frac{d^2}{d\xi^2}e^{-\xi^2}

Po sečtení všech členů dostaneme (pro n = 2) vztah uvedený výše. Je víceméně evidentní, že totéž bude platit i pro vyšší derivace, takže ověření pro n > 2 neuvádím.

Potom lze psát

\displaystyle |n> = (-1)^n (2^n n!)^{-1/2} \pi^{-1/4} e^{\xi^2/2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2}

Díky, Zuzi :-)

Abstract in English: Derivation of eigenfunctions of harmonic oscillator using the ladder operator technique (raising and lowering operators). This text is largely based on Principles of Quantum Mechanics: As Applied to Chemistry and Chemical Physics by D. D. Fitts.

Posted by admin on Thursday, September 20, 2007, at 13:30. Filed under Research, Teaching, Česky. Follow any responses to this post with its comments RSS feed. Both comments and trackbacks are currently closed.