Luboš Vrbka Homepage : Opět matematika…

Tentokrát tu mám 2 různé problémy. Jeden souvisí s degenerací daného kvantového stavu (D. A. McQuarrie, Statistical Mechanics, rovnice 1.34 a 1.35). Druhý jsem ‘potkal’ při diskusi orbitálního angulárního momentu a sférických harmonických funkcí (D. D. Fitts, Principles of Quantum Mechanics, kapitola 5.3, rovnice 5.49).

Degenerace kvantového stavu

Nejdříve tedy statistická mechanika… pro energii stavu ve třídimenzionální potenciálové jámě platí

$\displaystyle \varepsilon_{n_x,n_y,n_z} = \frac{h^2}{8ma^2} \left(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right)$

kde n_x, n_y, n_z jsou příslušná (kladná celá) kvantová čísla. Degenerace stavu určuje počet možných kombinací kvantových čísel, která ho popisují. Tuto situaci lze popsat rovnicí

$\displaystyle n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = \frac{8ma^2\varepsilon}{h^2} = R^2$

která je však také rovnicí koule.

Celkový počet stavů s energií menší nebo rovnou $\varepsilon$ lze (pro velká R) vypočítat jako objem jednoho oktantu koule o poloměru R (všechna kvantová čísla jsou kladná). Potom pro počet stavů částice v potenciálové jámě o dané energii platí

$\displaystyle \Phi = \frac{1}{8} \left( \frac{4\pi R^3}{3} \right) = \frac{\pi}{6} \left(\frac{8ma^2\varepsilon}{h^2}\right)^{3/2}$

Počet stavů mezi $\varepsilon$ a $\varepsilon + \Delta\varepsilon$ , kde $(\Delta\varepsilon/\varepsilon \ll 1)$ je

$\displaystyle \omega(\varepsilon, \Delta\varepsilon) = \Phi(\varepsilon + \Delta\varepsilon) - \Phi(\varepsilon) = \\ = \frac{\pi}{6} \left(\frac{8ma^2}{h^2}\right)^{3/2}\varepsilon^{3/2} % \left(1 + \frac{\Delta\varepsilon}{\varepsilon}\right)^{3/2} - \frac{\pi}{6} \left(\frac{8ma^2}{h^2}\right)^{3/2}\varepsilon^{3/2} = \\ = % \frac{\pi}{6} \left(\frac{8ma^2}{h^2}\right)^{3/2}\varepsilon^{3/2} \left(\left(1 + \frac{\Delta\varepsilon}{\varepsilon}\right)^{3/2} - 1\right) = % \frac{\pi}{6} \left(\frac{8ma^2}{h^2}\right)^{3/2}\varepsilon^{3/2} \left( 1 + \frac{3}{2}\frac{\Delta\varepsilon}{\varepsilon} + \frac{\frac{3}{2} \frac{1}{2}}{2} (\frac{\Delta\varepsilon}{\varepsilon})^2 + \ldots - 1 \right) = \\ = % \frac{\pi}{4}\left(\frac{8ma^2}{h^2}\right)^{3/2} \varepsilon^{1/2} \Delta\varepsilon + O((\Delta\varepsilon)^2)$

Poslední výraz zahrnuje všechny členy o rozměru druhé mocniny velikosti intervalu $\Delta\varepsilon$ . V odvození bylo využito binomického rozvoje

$(1+x)^n = 1 + nx + n(n-1)x^2 / 2! + n(n-1)(n-2)x^3 / 3! + \ldots$

který konverguje jen pro hodnoty z intervalu $-1 \leq x \leq 1$ , což je ale v tomto případě splněno.

Druhou možností řešení této úlohy je převedení do sférických souřadnic, v nichž lze objemový element psát jako

$dV = r^2 dr \sin\theta d\theta d\phi$

Pro objem koule a kulové vrstvy lze integrací získat

$\displaystyle V = {\left \int_0^R r^2 dr} {\left\int_0^\pi \sin\theta d\theta} {\left\int_0^{2\pi} d\phi} = \frac{4}{3}\pi R^3$
$\displaystyle dV = r^2 dr {\left\int_0^\pi \sin\theta d\theta} {\left\int_0^{2\pi} d\phi} = 4\pi r^2 dr$

Použitím osminy objemu kulové vrstvy a dosazením za r dostaneme výsledek totožný s hodnotou získanou pomocí binomického rozvoje.

$\displaystyle r^2 = \frac{8ma^2\varepsilon}{h^2}; r = \left(\frac{8ma^2}{h^2}\right)^{1/2} \varepsilon^{1/2}; dr = \left(\frac{8ma^2}{h^2}\right)^{1/2} \frac{d\varepsilon}{2\varepsilon^{1/2}}$
$\displaystyle \omega(\varepsilon, d\varepsilon) = \frac{\pi}{4} \left(\frac{8ma^2}{h^2}\right)^{3/2} \varepsilon^{1/2} d\varepsilon$

Tento postup je zjevně jednodušší. Binomický rozvoj má však širší možnosti použití, a proto byl zmíněn na prvním místě.

Angulární moment

A teď ke druhému problému, diskusi orbitálního angulárního momentu. Nejdřív pár definic, které se budou později určitě hodit. Pro řešení je nejlepší použít sférických souřadnic, jejichž vztah ke kartézskému systému je následující:

$x = r \sin\theta \cos\phi$
$y = r \sin\theta \sin\phi$
$z = r \cos\theta$
$r = (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}$
$\theta = \cos^{-1} (z/(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2})$
$\phi = \tan^{-1}(y/x)$

Operátory angulárního momentu ve sférických souřadnicích jsou

$\displaystyle\mathcal{L}_x = \frac{\hbar}{i} \left( -\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta} - \cot\theta \cos\phi \frac{\partial}{\partial\phi}\right)$
$\displaystyle\mathcal{L}_y = \frac{\hbar}{i} \left( \cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta} - \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial\phi}\right)$
$\displaystyle\mathcal{L}_z = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial\phi}$

a odpovídající kreační (zvyšující) a anihilační (snižující) operátor mají tvar

$\displaystyle\mathcal{L}_+ = \mathcal{L}_x + i\mathcal{L}_y = \hbar e^{i\phi} \left( \frac{\partial}{\partial\theta} + i \cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi} \right)$
$\displaystyle\mathcal{L}_- = \mathcal{L}_x - i\mathcal{L}_y = \hbar e^{-i\phi} \left( -\frac{\partial}{\partial\theta} + i \cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi} \right)$

Pro vlastní funkci angulárního momentu s hodnotou kvantových čísel a m=-l ze psát

$\displaystyle Y_{l, m} = Y_{l,-l} = \frac{1}{2^l l!} \sqrt{\frac{(2l+1)!}{4\pi}} \sin^l\theta e^{-il\phi}$

Působení kreačního (zvyšujícího) operátoru na tuto funkci lze odvodit následujícím postupem. Nejdříve si definujeme (pro zjednodušení zápisu) konstantu

$\displaystyle c_l = \frac{1}{2^l l!} \sqrt{\frac{(2l+1)!}{4\pi}}$

takže pro vlastní funkci platí

$\displaystyle Y_{l,-l} = c_l \sin^l\theta e^{-il\phi}$

Potom

$\displaystyle \mathcal{L}_+ Y_{l,-l} = c_l \hbar e^{i\phi} \left( \frac{\partial}{\partial\theta} + i \cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi} \right) \sin^l\theta e^{-il\phi} = \\ =% c_l \hbar e^{-i(l-1)\phi} \left( \frac{\partial}{\partial\theta} + l \cot\theta\right) \sin^l\theta = \\ =% c_l \hbar e^{-i(l-1)\phi} \left( \frac{\partial}{\partial\theta} + l \cot\theta\right) \frac{\sin^{2l}\theta}{\sin^l\theta} = \\ =% c_l \hbar e^{-i(l-1)\phi} \left( \frac{1}{\sin^l\theta}\frac{d}{d\theta} \sin^{2l}\theta - l \sin^{l-1}\theta \cos\theta + l \sin^{l-1}\theta \cos\theta \right) = \\ =% c_l \hbar e^{-i(l-1)\phi} \left( \frac{1}{\sin^l\theta}\frac{d}{d\theta} \sin^{2l}\theta\right) = \\ =% -c_l \hbar e^{-i(l-1)\phi} \left(\frac{1}{\sin^{l - 1}\theta}\frac{d}{d(\cos\theta)} \sin^{2l}\theta\right)$

‘Magický’ přechod mezi posledními dvěma řádky lze ilustrovat následujícím příkladem. Máme operátor působící na funkci $f(\theta)$

$\displaystyle \frac{d}{d(\cos\theta)}f(\theta)$

Zavedeme substituci

$t = \cos\theta, \theta = \arccos(t)$

a s její pomocí řešíme

$\displaystyle \frac{df}{d(\cos\theta)} = \frac{df}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{d\theta}f\frac{d \arccos(t)}{dt} = \\ =% \frac{d}{d\theta} f \left(-\frac{1}{ \sqrt{1 - t^2} } \right) = -\frac{1}{\sin\theta}\frac{df}{d\theta}$

Pokud na výsledek operace $\mathcal{L}_+ Y_{l,-l}$ znovu působíme kreačním (zvyšujícím) operátorem, pak dostáváme

$\displaystyle \mathcal{L}_+^2 Y_{l,-l} = -c_l \hbar^2 e^{i\phi} \left(\frac{\partial}{\partial\theta} + i \cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi} \right) \left( \frac{e^{-i(l-1)\phi}}{\sin^{l - 1}\theta} \frac{d}{d(\cos\theta)} \sin^{2l}\theta\right) = \\ =% -c_l \hbar^2 e^{-i(l-2)\phi} \left( \frac{d}{d\theta} + (l-1) \cot\theta \right) \left( \frac{1}{\sin^{l - 1}\theta} \frac{d}{d(\cos\theta)} \sin^{2l}\theta\right) = \\ =% c_l \hbar^2 e^{-i(l-2)\phi} \frac{1}{\sin^{l-2}\theta}\frac{d^2}{d(\cos\theta)^2} \sin^{2l}\theta$

a obecně platí

$\displaystyle \mathcal{L}_+^k Y_{l,-l} = {-\hbar}^k c_l e^{-i(l-k)\phi} \frac{1}{\sin^{l-k}\theta}\frac{d^k}{d(\cos\theta)^k} \sin^{2l}\theta$

Postup odvození bude ukázán v následujícím textu. Pro zjednodušení budou uvažovány jen operace v závorkách. Pro další zjednodušení bude každá z operací v prvních závorkách (derivace podle $\theta$ a násobení $(l-1) \cot\theta$ ) uvažována zvlášť.

Pro derivaci lze psát

$\displaystyle \frac{d}{d\theta}\left[ \frac{1}{\sin^{l-1}\theta} \frac{d}{d(\cos\theta)} sin^{2l} \theta\right] = \\ =% \frac{d}{d\theta}\left[ \frac{-1}{\sin^l\theta}\frac{d}{d\theta}\sin^{2l}\theta \right] = \\ =% \frac{-1}{\sin^l \theta} \frac{d^2}{d\theta^2} \sin^{2l}\theta - \frac{d}{d\theta} \sin^{2l}\theta \frac{(-l)\cos\theta}{\sin^{l+1}\theta} = \\ =% \frac{l}{\sin^l\theta}\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta}\sin^{2l}\theta - \frac{1}{\sin^l\theta}\frac{d^2}{d\theta^2} \sin^{2l}\theta$

Pro násobení platí

$\displaystyle (l-1) \cot\theta \left( \frac{1}{\sin^{l - 1}\theta} \frac{d}{d(\cos\theta)} \sin^{2l}\theta\right) = \\ =% (l - 1) \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \frac{1}{\sin^{l - 1}\theta} \frac{-1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \sin^{2l}\theta = \\ =% \frac{(1 - l)}{\sin^{l}\theta} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \frac{d}{d\theta} \sin^{2l}\theta$

Sečtením těcho dvou členů, vynásobením příslučnými konstantami a aplikací vztahu mezi derivacemi který je popsán v následujícím textu dospějeme ke vztahu pro vlastní funkce angulárního momentu, ukázané výše.

Menším ‘problémem’ je vztah mezi $d\theta^2$ a $d(\cos\theta)^2$ .

$\displaystyle \frac{d^2f(\theta)}{d(\cos\theta)^2} = \frac{d}{d\cos\theta}\left [ \frac{-1}{\sin\theta}\frac{df(\theta)}{d\theta} \right ] = \\ =% \frac{-1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left [ \frac{-1}{\sin \theta} \frac{df(\theta)}{d\theta} \right ] = \\ =% \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{d^2f(\theta)}{d\theta^2} + \frac{1}{\sin\theta} \frac{df(\theta)}{d\theta} \frac{d}{d\theta} \sin^{-1}\theta = \\ =% \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{d^2f(\theta)}{d\theta^2} + \frac{1}{\sin\theta} \frac{(-1) \cos\theta}{\sin^2 \theta} \frac{df(\theta)}{d\theta} = \\ =% \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{d^2f(\theta)}{d\theta^2} - \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{df(\theta)}{d\theta}$

Abstract in English: Degeneration of a given quantum state is derived in the first part (D. A. McQuarrie, Statistical Mechanics). This is essentially the example how to use the Taylor expansion. The second part concerns the derivation of spherical harmonics using the ladder operator technique. This is largely based on Principles of Quantum Mechanics: As Applied to Chemistry and Chemical Physics by D. D. Fitts.

Luboš Vrbka Homepage

Opět matematika…

Degenerace kvantového stavu

Angulární moment

Blog Search

Pages

Links

Categories

Information

Meta

Archives