Luboš Vrbka Homepage » Česky http://lubos.vrbka.net ... everything you might want to know about me Mon, 30 Jan 2012 21:05:11 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v= Madeira 2011 http://lubos.vrbka.net/archives/1771 http://lubos.vrbka.net/archives/1771#comments Mon, 13 Jun 2011 20:05:37 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=1771 Jo, na fotkách se pracuje a za pár dní už snad některý budou…

Yes, I’m working on the photos, there should be some available in our gallery in few days time…

Ja, ich arbeite an den Fotos, es sollte welche geben, in ein paar Tagen…

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/1771/feed 0 Photo: Langenfeld & Vysočina http://lubos.vrbka.net/archives/1533 http://lubos.vrbka.net/archives/1533#comments Sat, 29 Jan 2011 18:36:44 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=1533 Galerie byla aktualizována – přibyly 2 zimní fotky z Langenfeldu a album ze zasněžené Vysočiny.

Our gallery has been updated – check out the Langenfeld album for two new winter photos and a newly created album from the Czech-Moravian Uplands.

Unsere Gallerie enthält neue Fotografien. Sie sind in dem Album Langenfeld (2 Winterbilder) zu finden. Außerdem gibt es hier Fotos aus dem Oberlande in Tschechien.

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/1533/feed 0 Langenfeld a okolí / Langenfeld and neighborhood http://lubos.vrbka.net/archives/1363 http://lubos.vrbka.net/archives/1363#comments Mon, 11 Oct 2010 19:19:27 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=1363 Do galerie přibylo několik fotek z menších procházek po okolí – najdete je tady. Ty novější (Hitdorf, Leichlingen) začínají tady.

There are some new photos from our short walks in the neighborhood in our gallery. The newest pictures (Hitdorf, Leichlingen) begin here.

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/1363/feed 0 Benrath & Burg http://lubos.vrbka.net/archives/1222 http://lubos.vrbka.net/archives/1222#comments Sat, 03 Jul 2010 22:09:04 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=1222 Photos from our recent trips to Benrath & Burg are available in the gallery, under the following links:
Schlosspark Benrath and Schloss Burg.

Fotografie z posledních dvou výletů do Benrathu a Burgu jsou přístupné v galerii – následující linky ukazují na správné místo:
Schlosspark Benrath a Schloss Burg.

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/1222/feed 0 Restaurant page updates http://lubos.vrbka.net/archives/891 http://lubos.vrbka.net/archives/891#comments Sun, 13 Dec 2009 15:27:19 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=891 Langenfeld restaurant page was updated (in order to show at least some activity)… check it out – Where to eat in Langenfeld (Rhld.).

Die langenfelder Restaurantseite wurde aktualisiert (um irgendeine Aktivität zu zeigen)… schau sie an – Essen in Langenfeld (Rhld.).

Po dlouhé době nečinnosti jsem aktualizoval restaurační stránku (aspoň něco)… Kam se jít najíst v Langenfeldu (Rhld.).

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/891/feed 0 New restaurant guide http://lubos.vrbka.net/archives/843 http://lubos.vrbka.net/archives/843#comments Thu, 03 Sep 2009 20:58:10 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=843 New restaurant guide was created after our move to Langenfeld (Rhld.), it is located on this page and is called (how unpredictable) Where to eat in Langenfeld (Rhld.) – Essen in Langenfeld (Rhld.) – Kam se jít najíst v Langenfeldu (Rhld.). The structure is slightly different than in the Regensburg page, hopefully is that change in good direction…

Ich habe nach unserem Umzug nach Langenfeld (Rhld.) eine neue Restaurantenseite eingerichtet (Where to eat in Langenfeld (Rhld.) – Essen in Langenfeld (Rhld.) – Kam se jít najíst v Langenfeldu (Rhld.)). Sie ist zwar bißchen anders strukturiert als die Regensburger Seite – hoffentlich wird die Änderung aber positiv angenommen.

Po našem přestěhování do Langenfeldu (Rhld.) jsem vytvořil novou restaurační stránku nazvanou (překvapivě) Where to eat in Langenfeld (Rhld.) – Essen in Langenfeld (Rhld.) – Kam se jít najíst v Langenfeldu (Rhld.). Struktura se liší od původního regensburského seznamu page, tak to snad je změna k lepšímu.

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/843/feed 0 Lindau http://lubos.vrbka.net/archives/719 http://lubos.vrbka.net/archives/719#comments Tue, 07 Jul 2009 22:09:33 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=719 Minulý týden jsem se zúčastnil 59. setkání s laureáty Nobelovy ceny v Lindau u Bodamského jezera. Fotografie z prohlídky Linday a z výletu lodí na ostrov Mainau jsou v této galerii.

Last week I attended the 59th meeting of Nobel Laureates in Lindau, Lake Constance. Some photos from the city tour and from the boat trip to the Mainau island are available in this gallery.

Letzte Woche habe ich an der 59. Nobelpreisträgertagung in Lindau am Bodensee teilgenommen. Einige Fotos aus der Stadttour und aus dem Ausflug nach Mainau befinden sich in dieser Galerie.

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/719/feed 0 Restaurant guide update http://lubos.vrbka.net/archives/580 http://lubos.vrbka.net/archives/580#comments Sun, 07 Jun 2009 17:34:54 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=580 We visited quite a few different restaurants in the last days… today, the restaurant guide (Where to eat in Regensburg – Essen in Regensburg – Kam se jít najíst v Regensburgu) was finally updated to contain the complete information.

V posledních dnech a týdnech jsme navštívili větší množství restaurací. Dnes jsem konečně doplnil všechny chybějící informace na stránce věnované možnostem gastronomického vyžití v Regensburgu (Where to eat in Regensburg – Essen in Regensburg – Kam se jít najíst v Regensburgu).

Wir haben in den letzten Tagen und Wochen relativ viele Restaurants besucht. Heute habe ich die Gastronomie-Webseite (Where to eat in Regensburg – Essen in Regensburg – Kam se jít najíst v Regensburgu) geändert, um sie wieder aktuell zu machen.

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/580/feed 0 Few photos…/Nové fotky… http://lubos.vrbka.net/archives/460 http://lubos.vrbka.net/archives/460#comments Sun, 17 May 2009 14:05:04 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=460 After really long time, I made some photos during our trip to the falconry at the castle Rosenburg in Riedenburg. The result is available here.

Po dlouhé době jsme si zase udělali výlet (tentokrát do sokolnické stanice v Riedenburgu). Při naší poslední návštěve se nám nevydařilo počasí, tak jsme to chtěli zkusit ještě jednou. Udělal jsem pár fotek (poslední dobou to nějak zanedbávám), podívat se na ně můžete tady. Sisa k tomu na své stránce napsala i krátké povídání…

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/460/feed 0 Kombinatorika http://lubos.vrbka.net/archives/234 http://lubos.vrbka.net/archives/234#comments Mon, 10 Nov 2008 16:23:09 +0000 wpmaster http://lubos.vrbka.net/?p=234 Abych nemusel pořád hledat na internetu, když si zrovna nemůžu vzpomenout na nějaký kombinatorický vzorec, rozhodl jsem se, že si tady napíšu takové malé shrnutí. Většina informací (včetně příkladů) pochází z téhle stránky – je to součást diplomové práce, publikované na webu. Kromě teorie se tam dá najít i spousta příkladů. V případě zájmu o kombinatoriku rozhodně doporučuju – jako úvod je to opravdu vynikající.

Text je také přístupný (stejně jako všechny ostatní matematické texty) přes položku Teaching-Lehre v postranním menu.

Variace

K-členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice vytvořená z těchto prvků, ve které se každý prvek vyskytuje maximálně jednou.

První prvek vybíráme z n možností, druhý z (n-1) možností, k-tý pak z (n-k+1) možností – celkový počet variací je pak dán jako součin

\displaystyle V(k,n) = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\dots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}

protože

\displaystyle V(k,n) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1) \cdot \frac{(n-k)\cdot(n-k-1)\dots 3\cdot 2\cdot 1}{(n-k)\cdot(n-k-1)\dots 3\cdot 2\cdot 1} =\\= \frac{n!}{(n-k)!}

Příklad: Výběr barevné kombinace vlajky se třemi různobarevnými pruhy z 5 barev (na pořadí záleží) – celkem 60 možností (V(3,5)=60).

Permutace

Permutace z n prvků je n-členná variace z n prvků. Počet permutací je pak zjevně

\displaystyle P(n) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1 = n! = V(n,n) = \frac{n!}{0!}

z čehož vyplývá i definice faktoriálu pro hodnotu nula – 0!=1

Příklad: Počet permutací ze 3 prvků je 3.2.1=6 (abc, acb, bac, bca, cab, cba).

Kombinace

K-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice vytvořená z těchto prvků, ve které se každý prvek vyskytuje maximálně jednou. Každé k-členné kombinaci odpovídá k! k-členných variací.

V(k,n) = k! K(k,n)

\displaystyle K(k,n) = \frac{V(k,n)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}

Dvě užitečné vlastnosti kombinačních čísel jsou

\displaystyle \binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}

\displaystyle \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!} = \frac{n!}{k!(n-k-1)!}\left(\frac{1}{n-k} + \frac{1}{k+1}\right) =\\= \frac{n!}{k!(n-k-1)!}\cdot \frac{k+1+n-k}{(n-k)(k+1)} = \frac{n! (n+1)}{(k+1)k! (n-k)(n-k-1)!} = \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} =\\= \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-(k+1))!} = \binom{n+1}{k+1}

Kombinační čísla se také vyskytují v binomickém rozvoji (a+b)^n, kde určují koeficienty jednotlivých členů

\displaystyle (a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-1}b^2 + \dots + \binom{n}{n} b^n

k-tý člen lze tedy napsat jako \displaystyle \binom{n}{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1} pro k hodnoty z intervalu 1, 2, …, n+1.

Příklad: Výběr 2 prvků z množiny o 10 prvcích – celkem 45 možností.

Variace s opakováním

K-členná variace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice vytvořená z těchto prvků, ve které se každý prvek vyskytuje maximálně k-krát. Pro každý člen k-tice tak máme na výběr z n možností (nezávislý výběr) a proto

V'(k,n) = n^k

Příklad: Celkový počet barevných kombinací tříbarevné vlajky z 5 barev, kde se barvy mohou opakovat a záleží na pořadí – 5.5.5=625.

Permutace s opakováním

K-členná permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice vytvořená z těchto prvků, ve které se každý prvek vyskytuje alespoň jednou.

Počet opakování jednotlivých prvků n_i) si označíme k_1, k_2, …, k_n. Počet všech prvků jejichž pořadí zkoumáme je

k = k_1 + k_2 + \dots + k_n

Počet pořadí těchto prvků je dán permutací bez opakování P(k) = k!. Každý z prvků n_i lze umístit k_i! způsoby, které jsou však ekvivalentní. Z toho vyplývá, že skutečný počet pořadí je menší a pro počet permutací s opakováním lze psát

\displaystyle P'(k,n) = \frac{(k_1 + k_2 + \dots + k_n)!}{k_1! k_2! \dots k_n!}

Příklad: Kolika způsoby je možné srovnat do řady 2 šedé, 2 modré a 2 černé kostky?(6!/2!2!2!=780/8=90)

Kombinace s opakováním

K-členná kombinace s opakováním z n prvků je neuspořádaná k-tice vytvořená z těchto prvků, ve které se každý prvek vyskytuje maximálně k-krát. Lze je vysvětlit pomocí následujícího příkladu. Určujeme počet možností, kterými je možno rozdělit k kuliček do n krabiček. Situaci lze znázornit tak, že pro kuličku použijeme znak “.” a pro hranice krabičky znak “|”. Pro n krabiček máme n-1 hranic. Pro k=3, n=4 může jedno z rozdělení vypadat např. takto: “..|.||” (2 kuličky v první krabičce, 1 ve druhé, 3. a 4. krabička prázdné). Počet těchto možností lze určit jako šestičlenné permutace s opakováním ze dvou prvků a odpovídá počtu k-členných kombinací s opakováním z n prvků.

Pro obecné hodnoty “k” a “n” lze situaci modelovat použitím (k+n-1)-tic – jde o permutaci s opakováním pro 2 prvky s výskytem k a n-1. Matematicky potom plyne

\displaystyle K'(k,n) = P'(k,n-1) = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = \binom{n+k-1}{k}

Příklad: Kolika způsoby je možné rozmístit sedm stejných kuliček do tří krabiček? (36)

Abstract in English: Summary of the most important combinatorial expressions (variations, permutations, combinations).

]]> http://lubos.vrbka.net/archives/234/feed 0